LA CERCA

Propuesto en la V OLIMPIADA MATEMÁTICA PROVINCIAL DE CUENCA

6 de Mayo de 2006

Un caballo está atado con una cuerda de 3 metros a una esquina de un cercado que tiene forma de hexágono regular de lado 1 m. ¿Cuál es la superficie que tiene el caballo para moverse?

El dueño piensa que daría más libertad al caballo si fuera capaz de inventar un procedimiento para fijar una barra alrededor de la cerca pues de ese modo podría colgar de ella una argolla y atar ahí la cuerda. La argolla quedaría libre para girar, sin interrupciones, alrededor de la cerca. No te vamos a pedir aquí que nos digas qué tiene que hacer el dueño para conseguir su propósito pero sí nos podrías decir qué superficie tendrá el caballo para moverse si el dueño lo consigue. 

Pista: Con regla y compás dibuja  dos hexágono regulares y traza con exactitud la superficie por la que se puede mover el caballo en cada una de las dos situaciones.

Primera situación: 

  Superficie =(2/3)·π·3²+(1/3)·π·2²+(1/3)·π·1²=(23·π)/3@24,0856 metros cuadrados

Segunda situación:

  Superficie =π·3²+6·1·3=9π+18@ 46,2744 metros cuadrados