LA PUERTA DE TOLEDO

Propuesto en la fase regional de la olimpiada matemática de Castilla-la Mancha (Junio-2005)

Ubicada en Ciudad Real es un magnífico ejemplo (monumento nacional) de arquitectura militar del siglo XIV e integra arcos de diferentes estilos (ojival, de herradura y gótico). La construcción  del arco ojival,en la foto el más elevado y amplio, se realiza mediante la intersección de dos arcos circulares centrados en los puntos laterales inferiores: (mira la figura)

¿Sabrías encontrar el área de todo el arco gótico de la Puerta de Toledo si la altura máxima del arco es de 10 m y la anchura de la base 4 m?

Pista: El área del arco es igual al área de un rectángulo + el área encerrada por los dos arcosde circunferencia que se ven en el dibujo y la base del triángulo equilátero. Esa segunda área es el área de un sector circular +el área de un segmento circular. El área del segmento es a su vez el área del sector-el área del triángulo equilátero de la figura.

          

                Calculamos la altura del arco ojival:

                Calculamos el área del rectángulo:

                      Calculamos el área del arco  ojival:

  1º) A_{sector 60º} = 

2º) A_{triang equil} =

3º)  A₁= A_{sector 60} - A_{triang equil} =

2 A₁=

4º)  A_arco= 

Calculamos el área total:

A_TOTAL= A_rect+A_arco=